DVD在线租赁
摘 要
本文是对DVD在线租赁的分配，购买方案的分析研究，采用了数学规划的方法建立线性规划即多目标规划模型,解决了DVD的分配和购买问题。既是商家获利大，又使顾客充分满意得出合理的经营方案，并对商家提出了一些优化性的意见.我们的主要工作有：
1.我们对现有DVD的分配问题进行分析处理,首先对订单进行分析处理.可以得到一个0--1规划分配线性模型,由于变量的数量相当的大(大于100000个)软件处理起不是很方便,于是我们就想到了启发式算法来对每位会员相应DVD的满意度进行降序排列,按行与列的要求一步一步的删除行列,使得矩阵越变越小从而可得出我们比较满意的答案,虽此方法思路和作法都相对来说比较简单得需手动统计,不是一种较好的运算方法于是我们又想出了另外一种方法蒙特卡罗方法通过仿真模拟产生随机数来运算通过多交的运算找出一个比较接近最优解的一个满意解，满意度为
852.3381 .
2.针对DVD的购量问题进行分析处理,在对DVD的购买时我们可通过对订单进行合理分配(利用上面的分配原理建立相应模型)再让总的购碟数最小来作为约束条件求出一个满意购买量.而DVD则需要考虑它的市场潜在能力,即它对未来市场的适应情况.为此我们通过查找相关资料得出一个规律即它们对市场的适应情况一般都满足f(x)函数，所以对一个DVD的购量则要参考此函数图，由于商家购碟是有一定的时间段的，而第二次和以后的多次的购量还会受市场的反馈信息的他前一段时间的购量的影响。所以我们可以在此将时间，市场的影响，等因素来建立一个数学模型,通过模型我们可行到一个让商家和顾客都满意的购量。
此题主要考虑的就是DVD在线租赁过程中如何购买和分配以及对未来DVD的需求量的预测的问题,以达到一个对会员的满意度相对来说比较高同时又要满足商家的利益最大.
2. 名词和符号说明
DVD的紧张度：一种DVD碟子，需求量和现有碟子张数的比值，比值大说明紧张度大，反之，说明紧张度小，也反映了一种DVD的受欢迎程度。
偏爱度：会员对DVD的喜爱程度.
满意度：每个会员所有选责DVD对应的偏爱度和每位会员总的偏爱度的比值.。
我们将原始数据中反映偏爱度的非零数据全部转化为它的倒数，作为它的偏爱度。
符号说明：
m----会员人数
n----DVD的数量种类
i----第i个会员
j----第j张DVD
:表示第i个会员需求第j种DVD.
：表示第j种DVD的总需求量。
：表示第i个会员对j种DVD的满意程度。
表示一月内有X有愿意观看第i种DVD
表示3月内有X有愿意观看第i种DVD
表示第 i个会员对j种DVD的偏爱度。
表示每位会员总的偏爱度。 ＝（1+1/2+1/3）
其中 ＝ * ＝1，2，3…….1000
＝ （0表示会员没有分配到这种DVD，1表示分配到了这种DVD）
则 表示整个会员的满意程度
3. 模型的假设
2.看完DVD的会员能够按时归还给网站以便下次租赁不延迟。
3.会员的人数在一个运做周期内保持不变。
4.网站购买DVD在一段时间批量购进，中途不再购买。
5.历史数据显示在任何规定时刻，会员中有60%的人每月可以看两次，40%的会员看一次。
6.网站每次邮寄给会员的DVD数为每次0张或者3张，不中途零送。
7.网站在分配DVD时首先考虑分配紧张度小的DVD的客户需求（员工工作效率一定），最后考虑紧张度大的DVD。
8.60%和40%的人群是随机的，事先并不确定每一个会员属于哪一类的。
9.会员定单都同时到达无先后顺序，网站在规定时间内收齐定单后统一对会员邮购DVD。
10.每种DVD的价格在购买时都是一定的，相同的。
11．不考虑原始数据中的异常代码，认为每个会员只出现一次。
4. 问题分析
本题围绕网站如何经营管理DVD在线租赁以达到收益最大的问题进行讨论,要让收益最大即要让投入成本最低同时又要让更多的人来注册会员,这就需要最大程度的满足会员的需求量,即让会员的满意度最大,然而这两者又存在相互对立此消彼长的关系,这就需要我们找出一个最优解来让二者达到一个和谐,使得收益最大.下面我们就本题的4个 问题逐次来分析:
1. 此问给出的表1是一个调查样本表,我们可用这1000个样本来代替100000个会员来解决问题最后进行数据的扩倍即可.DVD的出租动作在一个月内是一个动态平衡.所以我们可以将它看成一个动态问题来处理.又因故60%的会员每月会租赁2次而40%的每月只租一次,也就是说在这个月内能出租的碟子量是现有碟子数量的1.6倍.又因每人与获得每类碟子数是一对一的关系.那么就可以建立一个DVD张数与满足会员人数间的一个一元线性关系式..同理3个月内也一样可建立一个DVD张数与满足会员人数间的一个一元线性关系式.,它只是一个月的一个3次重复,因为月租是每个月到月底时必须还所租碟子(只考虑一般正常情况下) (具体关系式见后模型的建立与求解中).
2. 此问给出的表2--------现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单规定了每种DVD的现有量,并且上面分析了每次获得DVD数量只能为3张或0张这不难让我们想到线性0—1规划问题即将每位会员得到DVD时就在相应位置记为1否则为0.即可得到相应的线性模型.(相应模型在模型建立中会具体说到).从中解出最优的分配方案使得会员获得最大满意度.对于此问题我们还可以用启发式方法和蒙特卡罗法分别来求出满足条件的满意解.(具体方法使用和说明在模型的建立与求解中有详细说明)。
3. 因为现在网站的DVD数量为零,所以我们可以假定网站现在要将所有的DVD换新,3.那么网站在购买新的DVD种类和数量的时候就需要考虑和会员需求的双向影响,如果满足购进的DVD越少,而会员的满意度越大,网站的运行就越成功.假如我们将未知的DVD数和会员的满意度作为两类变量建立双目标函数,考虑到会员的人数很多,这样产生的数组将有几十万.我们用计算机产生大量模拟数据,我们假定人数一定时,为满足95%的会员在一个月内看到DVD,考虑到最少需要的DVD的数量, 我们想到一种近视的由双目标向单目标转化的的方法,发现增加一些随机数,会员的满意度变化不大的一些值,()在计算
3.
4．办好一个网站需要考虑很多方面的因素：如在预测需求环节时要增加预测数据的可信度，就要在调查范围面上区域要广，覆盖年龄段宽，还要了解行业发展规律和行业周期；在购买环节考虑怎样的购买DVD，价格比较便宜；在分配方面现实需要考虑会员的优先级别问题，可以依据会员的级别到DVD的紧张度等来考虑；回收机制的建立加快现有的DVD的流通速度。此外，网站网业的建设，会员的激励，新会员的吸收等都是网站要考虑的因素。我们在考虑了各个经营租赁环节，从预测到分配方案的实施，得出以下的解决方案。
5. 模型的建立
1 我们规定每个月购买量为 ，一个月内有60％的人要出租2次，则一个月内每一种DVD的能被出租的总量为：
要求希望看到该种DVD的会员中至少50％再一个月内能够看到该DVD。我们以 来表示该DVD所对应的希望看到该DVD的人数。则有
在第二问中，我们以一个月为周期，在前3个月中，我们可以认为每个月与前面一个月是一种重复关系，那么前三个月内每种DVD能被出租的总量为
3×（ ）
要求三个月内希望看到该DVD95％的会员能够看到该DVD，则有：
3×（ ）
表1中有5种DVD，分别对每种DVD进行如上的分析，于是对应表1 我们得到的数学模型如下：
3×（ ）
1. 问题二的模型建立：
在问题2与目的明确相关的一个变量为 满意度，即顾客的偏爱度，首先我们得把顾客的偏爱度转换为我们直接能够应用的数据，由于偏爱度是用0到10之间的整数表示的，并且，数字越大，偏爱度越小，于是我们采取用它的倒数来表示每位会员的满意度。转换后的满意度用矩阵 来表示。
：表示第i个会员对j种DVD的满意程度。
2.
模型一：优化模型
DVD在线租赁问题可以看成一个优化模型，在追求会员满意度和最大限度的利用网站购买的DVD，建立最有效的分配方案使会员和网站双方都能达到最好的效果，这个模型主要涉及到会员人数,每个会员对不同DVD的需求和喜爱程度，网站购买的DVD数量，这些关系可以构建模型的组要框架。（m和n的乘机表示组成一个m行n列的矩阵）。
1.问题二是满足以下的关系：
Ⅰ.每个会员对不同的DVD有不同的需求，它们的关系可以表示如下：
:表示第i个会员需求第j种DVD.
Ⅱ.网站分配给每个会员的每种DVD对应一个喜爱程度，它们的关系表达如下：
：表示第i个会员对j种DVD的满意程度。
Ⅲ.假定网站购买DVD是瞬间的，不需要时间，则在一段时期内DVD数量就是一个定值，我们可以用以下的关系式来表示这个关系：
：表示第j种DVD的总需求量。
Ⅳ.网站对会员提出的订单作出回答，分配会员需求的DVD，是满足一部分还是全部，满足的程度怎么样，我们将这个关系表达式表示如下：
x=
：表示第i个会员是否得到他想要的第j张DVD,如果得到A就是用1表示，如果没有得到，就用0表示。
Ⅴ.我们依据以上关系建立问题二的模型如下：
在此问题中，要让满意度最大，我们应当以满意度为目标函数：
目标函数：即总的满意度为：
……… ①
约束条件： …（ 取0或者3） ……②
…………③
①表示所有每个会员全部满意度的汇总就是会员的总的满意度.
②考虑邮寄费用的因素，每个会员每次只能得到刚好3张DVD或责一张也没有得到。
③在知道会员订单的情况下，所有会员对一种DVD的使用不超过网站存储量。
2.问题三在满足上述关系外还增加了一个未知变量，因此变成一个双目标函数，其关系如下：
目标函数：v1: （假设各种DVD购买价格 相同且是 ＝常数）
V2:
约束条件： …（ 取0或者3）
1）需求购买预测:
假定我们是网站管理人员，要保持网站的新鲜度和吸引度，必须不断有新片购进。在购进新片的过程中，我们需要依据会员的订单信息就DVD种类和数量进行分类汇总,我们假定平均购买周期为t,以[0,t]时间内的反馈信息为基础.并且我们知道影视行业中影碟发行,DVD新片租赁有一种这样的规律,如果后期宣传与前期投入的比值在一段范围内很大的话,那么这种产品的需求就呈现在开始时增长很快,达到饱和期后就会逐渐降低,这里我们不考虑个别的情况,由以上机理分析可得这个规律可以用一个很相似的图形来表示,如下:
（横坐标表示时间t,纵坐标表示DVD的需求量）
DVD需求随时间变化的规律图.从图上可以看出由于上升部分和下降部分不是以最高点作为对称轴的,前面的部分变化很快, | 
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